Question

1．已知圆B的圆心B坐标为（2，1）直线l：x+2y-2=0与圆B相交于M，N两点，|MN|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）求圆B的方程；
（2）设直线l：x+2y-2=0与x，y轴分别交于点A，C，将四边形OABC折叠，使O点落在线段CB上，若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程．

Answer 1

分析 （1）设圆的半径为r，运用点到直线的距离公式和弦长公式，计算可得r=1，进而得到圆的方程；
（2）由题意可得四边形OABC为矩形，即可得到对称轴的斜率，即可得到所求直线方程．

解答 解：（1）设圆的半径为r，
圆心到直线的距离为d=$\frac{|2+2-2|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
可得弦长为|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{4}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
解得r=1，
即有圆B的方程为（x-2）²+（y-1）²=1；
（2）由题意可得A（2，0），C（0，1），
四边形OABC为矩形，
设O点与D点关于直线CE对称，
可得直线CE的斜率为-1，
即有直线CE的方程为y=-x+1，
即折痕所在直线的方程为y=-x+1．

点评 本题考查圆的方程的求法，注意运用点到直线的距离公式和弦长公式，考查对称问题的解法，注意结合图形，考查运算能力，属于中档题．