Question

12．如图，在△ABC中，$\frac{AD}{DC}$=$\frac{BE}{EA}$=2，$\overrightarrow{DE}$=λ$\overrightarrow{AC}$+μ$\overrightarrow{CB}$，则λ+μ=0．

Answer 1

分析 由题意知$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$，结合$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AD}$，从而化简解得．

解答 解：∵$\frac{AD}{DC}$=$\frac{BE}{EA}$=2，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AD}$
=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$
=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$）-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$
=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$，
又∵$\overrightarrow{DE}$=λ$\overrightarrow{AC}$+μ$\overrightarrow{CB}$，
∴λ=-$\frac{1}{3}$，μ=$\frac{1}{3}$，
故λ+μ=0．
故答案为：0．

点评 本题考查了线性运算的应用及数形结合的思想应用．