Question

18．已知离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$的椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右顶点和上顶点分别为A、B，O为坐标原点，△OAB的面积为$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，过椭圆C上一点M的直线MF₁、MF₂分别与椭圆交于D、E，设$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}D}$，$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=μ$\overrightarrow{{F}_{2}E}$（λ，μ∈R），求λ+μ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{S=\frac{1}{2}ab=\frac{3\sqrt{6}}{2}\\;}\end{array}\right.$，从而解得；
（Ⅱ）设M（x，y），D（x_D，y_D），E（x_E，y_E），F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0）；从而可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{D}=-\frac{\sqrt{3}}{λ}-\frac{x}{λ}-\sqrt{3}}\\{{y}_{D}=-\frac{y}{λ}}\end{array}\right.$，代入椭圆方程化简得（$\sqrt{3}$+x+λ$\sqrt{3}$）²+9-x²-9λ²=0，从而求得λ=$\frac{6+\sqrt{3}x}{3}$，同理可得μ=$\frac{6-\sqrt{3}x}{3}$，从而解得．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，
$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{S=\frac{1}{2}ab=\frac{3\sqrt{6}}{2}\\;}\end{array}\right.$，
解得，a=3，b=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{3}$；
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1；
（Ⅱ）设M（x，y），D（x_D，y_D），E（x_E，y_E），F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0）；
∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}D}$，
∴（-$\sqrt{3}$-x，-y）=λ（$\sqrt{3}$+x_D，y_D），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{D}=-\frac{\sqrt{3}}{λ}-\frac{x}{λ}-\sqrt{3}}\\{{y}_{D}=-\frac{y}{λ}}\end{array}\right.$，
又∵$\frac{{{x}_{D}}^{2}}{9}$+$\frac{{{y}_{D}}^{2}}{6}$=1，$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1，
∴（$\sqrt{3}$+x+λ$\sqrt{3}$）²+9-x²-9λ²=0，
∴（3λ-（6+$\sqrt{3}$x））（λ+1）=0，
∴λ=$\frac{6+\sqrt{3}x}{3}$，
又∵$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=μ$\overrightarrow{{F}_{2}E}$，
∴同理可得，μ=$\frac{6-\sqrt{3}x}{3}$
∴λ+μ=$\frac{6+\sqrt{3}x}{3}$+$\frac{6-\sqrt{3}x}{3}$=4．

点评 本题考查了椭圆与直线的位置关系的应用及椭圆的标准方程的求法，同时考查了数形结合的思想应用．