Question

19．已知函数f（x）=4sinx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-1，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用周期公式即可得解．
（2）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=4sinx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-1，
=4sinx（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）-1，
=2sin²x+$\sqrt{3}$sin2x-1
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值为$\sqrt{3}$，最小值为-2．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，解题的关键是利用三角函数中的恒等变换应用求得函数解析式，属于基础题．