Question

14．方程lg（cosx+sinx）=lg（2cos²x-1）的解集是{x|x=2kπ，k∈Z}．

Answer 1

分析 lg（cosx+sinx）=lg（2cos²x-1），可得cosx+sinx=2cos²x-1＞0，利用倍角公式化为（cosx+sinx）（1-cosx+sinx）=0，可得sinx-cosx=-1，利用和差公式化简即可得出．

解答 解：∵lg（cosx+sinx）=lg（2cos²x-1），
∴cosx+sinx=2cos²x-1＞0，
∴（cosx+sinx）-（cos²x-sin²x）=0，
化为（cosx+sinx）（1-cosx+sinx）=0，
∴sinx-cosx=-1，
化为$sin（x-\frac{π}{4}）$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$x-\frac{π}{4}$=$2kπ-\frac{π}{4}$，或x-$\frac{π}{4}$=2kπ+π+$\frac{π}{4}$．（k∈Z）．
化为x=2kπ或x=2kπ+$\frac{3π}{2}$．
经过验证x=2kπ+$\frac{3π}{2}$不满足条件．
∴原方程的解集为{x|x=2kπ，k∈Z}．
故答案为：{x|x=2kπ，k∈Z}．

点评 本题考查了对数的运算性质、倍角公式、三角函数的单调性求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．