Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，已知侧面BB₁C₁C与底面ABC垂直，且∠BCA=90°，∠B_lBC=60°，BC=BB₁=2，若二面角A-B₁B-C为30°.

(Ⅰ)求证：AC⊥平面BB₁C₁C；

(Ⅱ)求AB₁与平面BB₁C₁C所成角的正切值；

(Ⅲ)在平面AA₁B₁B内找一点P，使三棱锥P-BB₁C为正三棱锥，并求点P到平面BB₁C的距离.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵面BB₁C₁C⊥面ABC,交线为BC,AC⊥BC,∴AC⊥面BB₁C₁C 

(Ⅱ)连B₁C,由(Ⅰ)知AC⊥平面BB₁C₁C,∴∠CB₁A就是AB₁与平面BB₁C₁C所成的角.

取BB₁中点E,连CE、AE,在△CBB₁中,BB₁=BC=2,∠B₁BC=60°,∴△CBB₁是正三角形,∴CE⊥BB₁,又AC⊥平面BB₁C₁C,∴AE⊥BB₁,∴∠CFA为二面角A-BB₁-C的平面角,∠CEA=30° 

在Rt△CEA中,AC=CEtan30°=1,∴在Rt△AB₁C中,tan∠AB₁C= 

(Ⅲ)在CE上取点P₁,使=2,则P₁为△B₁BC的重心即中心.作P₁P∥AC交AE于P

∵AC⊥平面BB₁C₁C,∴PP₁⊥面BB₁C₁C,即P在平面B₁C₁C上的射影是△BCB₁中心

∴P-BB₁C为正三棱锥,且,∴PP₁=,即P到平面BB₁C的距离为。