Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．

（1）求证：MN∥平面BB1C1C；
（2）若D在边BC上，AD⊥DC1 ， 求证：MN⊥AD．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接A1C，

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形，

又∵N分别为线段AC1的中点．

∴AC1与A1C相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点，

∵M为线段A1B的中点，

∴MN∥BC，

又∵NN平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，

∴MN∥平面BB1C1C

（2）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，

又AD平面ABC1，所以CC1⊥AD，

∵AD⊥DC1，DC1平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，CC1∩DC1=C1，

∴AD⊥平面BB1C1C，

又∵BC平面BB1C1C，

∴AD⊥BC，

又由（1）知，MN∥BC，

∴MN⊥AD

【解析】（1）由题意，利用三角形中位线定理可证MN∥BC，即可判定MN∥平面BB1C1C．（2）利用线面垂直的性质可证CC1⊥AD，结合已知可证AD⊥平面BB1C1C，从而证明AD⊥BC，结合（1）知，MN∥BC，即可证明MN⊥AD．