Question

【题目】设M={x| }，N={x|x2+（a﹣8）x﹣8a≤0}，命题p：x∈M，命题q：x∈N．
（1）当a=﹣6时，试判断命题p是命题q的什么条件；
（2）求a的取值范围，使命题p是命题q的一个必要但不充分条件．

Answer 1

【答案】
（1）解： M={x| }={x|x＜﹣3或x＞5}，

当a=﹣6时，N={x|x2+（a﹣8）x﹣8a≤0}={x|x2﹣14x+48≤0}={x|6≤x≤8}，

∵命题p：x∈M，命题q：x∈N，

∴qp，p推不出q，

∴命题p是命题q的必要不充分条件．

（2）解：∵M={x|x＜﹣3或x＞5}，N={x|（x﹣8）（x+a）≤0}，

命题p是命题q的必要不充分条件，

当﹣a＞8，即a＜﹣8时，N={x|8＜x＜﹣a}，此时命题成立；

当﹣a=8，即a=﹣8时，N={8}，命题成立；

当﹣a＜8，即a＞﹣8时，此时N={﹣a＜x＜8}，故有﹣a＞5，解得a＜﹣5，

综上所述，a的取值范围是{a|a＜﹣5}

【解析】（1）解分式不等式求出M={x|x＜﹣3或x＞5}，当a=﹣6时，解一元二次不等式求出N={x|6≤x≤8}，由此能够得到命题p是命题q的必要不充分条件．（2）由M={x|x＜﹣3或x＞5}，N={x|（x﹣8）（x+a）≤0}，命题p是命题q的必要不充分条件，分类讨论能够求出a的取值范围．