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已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上的最大值为4,最小值为1,记f(x)=g(|x|)
(Ⅰ)求实数a,b的值;
(Ⅱ)若不等式f(log2k)>f(2)成立,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)定义在[p,q]上的一个函数m(x),用分法T:p=x0<x1<…<xi<…<xn=q将区间[p,q]任意划分成n个小区间,如果存在一个常数M>0,使得和式
n
i=1
|m(xi)-m(xi-1)|≤M
恒成立,则称函数m(x)为在[p,q]上的有界变差函数,试判断函数f(x)是否为在[1,3]上的有界变差函数?若是,求M的最小值;若不是,请说明理由.(参考公式:
n
i=1
f(x)=f(x1)+f(x2)+
…+f(xn))
分析:(I)由已知中g(x)在区间[2,3]的最大值为4,最小值为1,结合函数的单调性及最值,我们易构造出关于a,b的方程组,解得a,b的值;
(Ⅱ)由(1)参数a,b的值,代入可得函数解析式,根据二次函数的图象和性质,可将问题转化为距离Y轴距离远的问题,进而构造关于k的方程求出K值.
(III)根据有界变差函数的定义,我们先将区间[1,3]进行划分,进而判断
n
i=1
|m(xi)-m(xi-1)|≤M
是否恒成立,进而得到结论.
解答:解:(Ⅰ)∵函数g(x)=ax2-2ax+1+b,因为a>0,
所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,
又∵函数g(x)故在区间[2,3]上的最大值为4,最小值为1,
g(2)=1
g(3)=4

解得
a=1
b=0
;…(5分)
(Ⅱ)由已知可得f(x)=g(|x|)=x2-2|x|+1为偶函数,
所以不等式f(log2k)>f(2)可化为|log2k|>2,…(8分)
解得k>4或0<k<
1
4
;…(10分)
(Ⅲ)函数f(x)为[1,3]上的有界变差函数.
因为函数f(x)为[1,3]上的单调递增函数,
且对任意划分T:1=x0<x1<…<xi<…<xn=3
有f(1)=f(x0)<f(x1)<…<f(xI)<…<f(xn)=f(3)
所以
n
i=1
|f(xi)-f(xi-1)|
=f(x1)-f(x0)+f(x2)-f(x1)<…<f(xn)-f(xn-1
=f(xn)-f(x0)=f(3)-f(1)=4恒成立,
所以存在常数M,使得
n
i=1
|m(xi)-m(xi-1)|≤M
恒成立.
M的最小值为4…(14分)
点评:本题考查的知识点是函数恒成立问题,二次函数在闭区间上的最值,新定义,其中(1)的关键是分析出函数的单调性,(2)要用转化思想将其转化为绝对值比较大小(3)的关键是真正理解新定义的含义.
练习册系列答案
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已知函数g(x)=x3-3ax2-3t2+t(t>0)
(1)求函数g(x)的单调区间;
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a+lnx
x
,且f(x)+g(x)=
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x

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(2)若函数g(x)在[1,e]上的最小值为
3
2
,求实数a的值.

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(Ⅱ)当a<-2时,求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当-3<a<-2时,若对?λ1,λ2∈[1,3],使得|f(λ1)-f(λ2)|<(m+ln3)a-2ln3恒成立,求m的取值范围.

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(2013•济宁二模)已知函数g(x)=
x
lnx
,f(x)=g(x)-ax(a>0).
(I)求函数g(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;
(Ⅲ)当a≥
1
4
时,若?x1,x2∈[e,e2]使f(x1)≤f′(x2)+a成立,求实数a的取值范围.

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