Question

已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|）
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）定义在[p，q]上的一个函数m（x），用分法T：p=x₀＜x₁＜…＜x_i＜…＜x_n=q将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和式

n

i=1

|m(xi)-m(xi-1)|≤M恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数，试判断函数f（x）是否为在[1，3]上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．（参考公式：

n

i=1

f(x)=f(x1)+f(x2)+…+f（x_n））

Answer 1

分析：（I）由已知中g（x）在区间[2，3]的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，我们易构造出关于a，b的方程组，解得a，b的值；
（Ⅱ）由（1）参数a，b的值，代入可得函数解析式，根据二次函数的图象和性质，可将问题转化为距离Y轴距离远的问题，进而构造关于k的方程求出K值．
（III）根据有界变差函数的定义，我们先将区间[1，3]进行划分，进而判断

n

i=1

|m(xi)-m(xi-1)|≤M是否恒成立，进而得到结论．

解答：解：（Ⅰ）∵函数g（x）=ax²-2ax+1+b，因为a＞0，
所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，
又∵函数g（x）故在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，

g(2)=1 g(3)=4

，
解得

a=1 b=0

；…（5分）
（Ⅱ）由已知可得f（x）=g（|x|）=x²-2|x|+1为偶函数，
所以不等式f（log₂k）＞f（2）可化为|log₂k|＞2，…（8分）
解得k＞4或0＜k＜

1

4

；…（10分）
（Ⅲ）函数f（x）为[1，3]上的有界变差函数．
因为函数f（x）为[1，3]上的单调递增函数，
且对任意划分T：1=x₀＜x₁＜…＜x_i＜…＜x_n=3
有f（1）=f（x₀）＜f（x₁）＜…＜f（x_I）＜…＜f（x_n）=f（3）
所以

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|=f（x₁）-f（x₀）+f（x₂）-f（x₁）＜…＜f（x_n）-f（x_n-1）
=f（x_n）-f（x₀）=f（3）-f（1）=4恒成立，
所以存在常数M，使得

n

i=1

|m(xi)-m(xi-1)|≤M恒成立．
M的最小值为4…（14分）

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数在闭区间上的最值，新定义，其中（1）的关键是分析出函数的单调性，（2）要用转化思想将其转化为绝对值比较大小（3）的关键是真正理解新定义的含义．