Question

【题目】已知命题函数在上单调递减；命题曲线为双曲线．

（Ⅰ）若“且”为真命题，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（I）对函数求导，利用分离常数法求得命题中的取值范围，利用双曲线的标准方程的概念求得命题中的取值范围. 若“且”为真命题则均为真命题，求中两个的取值范围的交集，得到题目所求的取值范围.（II）若“或”为真命题，“且”为假命题，则一真一假，分别根据“真假”或者“假真”两类，结合（I）的数据，求得实数的取值范围.

（Ⅰ）若为真命题，在恒成立，即在恒成立，∵在的最大值是3， ①

若为真命题，则，解得，②

若“且”为真命题，即，均为真命题，所以，解得，

综上所述，若“且”为真命题，则实数的取值范围为；

（Ⅱ）若“或”为真命题，“且”为假命题，即，一真一假，

当真假时，，解得，

当假真时，，解得，

综上所述，实数的取值范围为．