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选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C1
x=-4+cost
y=-3+sint
(t
为参数),C2
x=8cosθ
y=-3sinθ
为参数).
(1)化C1,C2的方程为普通方程
(2)若C1上的点P对应的参数为t=
π
2
,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3
x=3+2t
y=-2+t
(t
参数)距离的最小值.
分析:(1)分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程,即可得到曲线C1表示一个圆;曲线C2表示一个椭圆;
(2)把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标,然后把直线的参数方程化为普通方程,根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标,利用中点坐标公式表示出M的坐标,利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离,利用两角差的正弦函数公式化简后,利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值.
解答:解:(1)把曲C1
x=-4+cost
y=-3+sint
(t
为参数)化为普通方程得:(x+4)2+(y+3)2=1,
所以此曲线表示的曲线为圆心(-4,-3),半径1的圆;
C2
x=8cosθ
y=-3sinθ
为参数),化为普通方程得:
x2
64
+
y2
9
=1,所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴为8,短半轴为3的椭圆;
(2)把t=
π
2
代入到曲线C1的参数方程得:P(-4,-2),
把直线C3
x=3+2t
y=-2+t
(t
参数)化为普通方程得:x-2y-7=0,
设Q的坐标为Q(8cosθ,3sinθ),故M(-2+4cosθ,-1+
3
2
sinθ)
所以M到直线的距离d=
|4cosθ-3sinθ-7|
5
=
|5sin(α-θ)-7|
5
,(其中sinα=
4
5
,cosα=
3
5

从而当cosθ=
4
5
,sinθ=-
3
5
时,d取得最小值
2
5
5
点评:本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,点到直线的距离公式的应用,正弦函数的值域,属于基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为
x=
1
2
t
y=
2
2
+
3
2
t
(t为参数),若以直角坐标系xoy 的O点为极点,Ox为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ-
π
4
).直线l与曲线C交于A,B两点,求|AB|.

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A.选修4-1:几何证明选讲
如图,△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E,∠BAC的平分线与BC
交于点D.求证:ED2=EB•EC.
B.选修4-2:矩阵与变换
求矩阵M=
-14
26
的特征值和特征向量.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
在以O为极点的极坐标系中,直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ+
π
4
)=
3
2
2
和ρsin2θ=4cosθ,直线l与曲线C交于点.A,B,C,求线段AB的长.
D.选修4-5:不等式选讲
对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求|x-y+1|的最大值.

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(2013•辽宁)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos(θ-
π
4
)=2
2

(Ⅰ)求C1与C2交点的极坐标;
(Ⅱ)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点,已知直线PQ的参数方程为
x=t3+a
y=
b
2
t3+1
(t∈R为参数),求a,b的值.

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选修4-4:
坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中,曲线C1为x=acosφ,y=sinφ(1<a<6,φ为参数).
在以0为原点,x轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线C2的方程为ρ=6cosθ,射线ι为θ=α,ι与C1的交点为A,ι与C2除极点外的一个交点为B.当α=0时,|AB|=4.
(1)求C1,C2的直角坐标方程;
(2)若过点P(1,0)且斜率为
3
的直线m与曲线C1交于D、E两点,求|PD|与|PE|差的绝对值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•晋中三模)选修4-4:坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xoy中,曲线c1的参数方程为:
x=2cosθ
y=2sinθ
(θ为参数),把曲线c1上所有点的纵坐标压缩为原来的一半得到曲线c2,以O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
2
ρcos(θ-
π
4
)=4

(1)求曲线c2的普通方程,并指明曲线类型;
(2)过(1,0)点与l垂直的直线l1与曲线c2相交与A、B两点,求弦AB的长.

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