Question

如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，D，分别在x轴，y轴正半轴上移动，则

OB

•

OC

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：设∠OAD=θ，0＜θ＜

π

2

．可得x_B=2cosθ+2sinθ，y_B=2cosθ，x_C=2sinθ，y_C=2sinθ+2cosθ．再利用数量积运算、同角三角函数基本关系式、倍角公式、正弦函数的单调性有界性即可得出．

解答： 解：设∠OAD=θ，0＜θ＜

π

2

．
则x_B=2cosθ+2sinθ，y_B=2cosθ，x_C=2sinθ，y_C=2sinθ+2cosθ．
∴B（2cosθ+2sinθ，2cosθ），C（2sinθ，2sinθ+2cosθ），
∴

OB

•

OC

=（2cosθ+2sinθ，2cosθ）•（2sinθ，2sinθ+2cosθ）
=（2cosθ+2sinθ）×2sinθ+2cosθ（2sinθ+2cosθ）
=4sinθcosθ+4sin²θ+4sinθcosθ+4cos²θ
=4sin2θ+4．
∵0＜θ＜

π

2

，
∴0＜2θ＜π，
∴sin2θ≤1．
∴4sin2θ+4≤8．
∴

OB

•

OC

的最大值为8．
故答案为：8．

点评：本题综合考查了数量积运算、同角三角函数基本关系式、倍角公式、正弦函数的单调性有界性，考查了计算能力，属于中档题．