Question

不等式

x2-8x+20

ax2-ax-1

＜0对任意实数x恒成立，则a的范围为

（-4，0]

．

Answer 1

分析：由题意可得

(x-4)2+4

ax2-ax-1

＜0 对任意实数x恒成立，即 ax²-ax-1＜0对任意实数x恒成立，当a=0时，满足条件，当a≠0时，由

a＜0 △ =a 2+4a＜0

求得a的范围，
综合可得a的范围．

解答：解：由题意可得

(x-4)2+4

ax2-ax-1

＜0 对任意实数x恒成立，
∵（x-4）²+4＞0，∴ax²-ax-1＜0对任意实数x恒成立．
当a=0时，ax²-ax-1=-1，显然满足条件．
当a≠0时，应有

a＜0 △ =a 2+4a＜0

，解得-4＜a＜0．
综上可得，-4＜a≤0，故a的范围为（-4，0]．

点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．