Question

11．已知函数f（x）=（2cos²x-1）sin2x+$\frac{1}{2}$cos4x．
（1）求f（x）的最小正周期及单调减区间；
（2）若α∈（0，π），且f（$\frac{α}{4}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求tan（α+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）首先，化简函数解析式，然后利用辅助角公式进行化简，然后，根据三角函数的周期公式和单调性进行求解即可；
（2）根据（1），得到f（$\frac{α}{4}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[4（$\frac{α}{4}$-$\frac{π}{8}$）+$\frac{π}{4}$]，得到相应的α的值，然后，利用两角和的正切公式进行求解即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=（2cos²x-1）sin2x+$\frac{1}{2}$cos4x．
=cos2xsin2x+$\frac{1}{2}$cos4x
=$\frac{1}{2}$sin4x+$\frac{1}{2}$cos4x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），
∴T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{4}$+2kπ≤4x≤$\frac{5π}{4}$+2kπ，
∴$\frac{π}{16}$+$\frac{kπ}{2}$≤x≤$\frac{5π}{16}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴单调减区间[$\frac{π}{16}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{5π}{16}$+$\frac{kπ}{2}$]，（k∈Z），
（2）根据（1），
∵f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），
∴f（$\frac{α}{4}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[4（$\frac{α}{4}$-$\frac{π}{8}$）+$\frac{π}{4}$]
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin（α-$\frac{π}{4}$）=1，
∵α∈（0，π），
∴α-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴α-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
∴α=$\frac{3π}{4}$，
∴tan（α+$\frac{π}{3}$）=tan（$\frac{3π}{4}$+$\frac{π}{3}$）
=$\frac{tan\frac{3π}{4}+tan\frac{π}{3}}{1-tan\frac{3π}{4}tan\frac{π}{3}}$=$\frac{-1+\sqrt{3}}{1-（-1）×\sqrt{3}}$
=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$=2-$\sqrt{3}$．
∴tan（α+$\frac{π}{3}$）的值2-$\sqrt{3}$．

点评 本题重点考查了三角公式、辅助角公式、两角和的正切公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．