Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

2

，M为AB的中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角S-CM-B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面SCM的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证AC⊥SB，取AC中点D，连接DS、DB．根据线面垂直的性质定理可知，只须证AC⊥SD且AC⊥DB，即得；
（Ⅱ）欲求二面角N-CM-B的大小，可先作出二面角的平面角，结合SD⊥平面ABC．过D作DE⊥CM于E，连接SE，则SE⊥CM，
从而得出∠SED为二面角S-CM-A的平面角．最后在Rt△SDE中求解即可；
（Ⅲ）设点B到平面SCM的距离为h，利用等到体积法：V_B-SCM=V_S-CMB，即可求得点B到平面SCM的距离．

解答：证明：（Ⅰ）取AC中点D，连接DS、DB．
∵SA=SC，BA=BC，
∴AC⊥SD且AC⊥DB，
∴AC⊥平面SDB，又SB?平面SDB，
∴AC⊥SB．
（Ⅱ）解：∵SD⊥AC，平面SAC⊥平面ABC，
∴SD⊥平面ABC．
过D作DE⊥CM于E，连接SE，则SE⊥CM，
∴∠SED为二面角S-CM-A的平面角．
由已知有DE

∥

.

1

2

AM，所以DE=1，又SA=SC=2

2

，AC=4，∴SD=2．
在Rt△SDE中，tan∠SED=

SD

DE

=2，
∴二面角S-CM-A的大小为arctan2，
∴二面角S-CM-B的大小为π-arctan2．
（Ⅲ）解：在Rt△SDE中，SE=

SD2+DE2

=

5

，CM是边长为4正△ABC的中线，CM=2

3

．
∴S_△SCM=

1

2

CM•SE=

1

2

×2

3

×

5

=

15

，
设点B到平面SCM的距离为h，
由V_B-SCM=V_S-CMB，SD⊥平面ABC，得

1

3

S_△SCM•h=

1

3

S_△CMB•SD，
∴h=

S△CMB•SD

S△SCM

=

4 5

5

．即点B到平面SCM的距离为

4 5

5

．

点评：本小题主要考查直线与直线，直线与平面，二面角，点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力．