Question

已知a＞0，函数f（x）=ax-bx²．
（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a≤2

b

；
（2）当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件是b-1≤a≤2

b

；
（3）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件．

Answer 1

分析：（1）因为对任意x∈R都有f（x）≤1，所以把函数变为顶点形式，且a＞0，b＞0，有当x=

b

2a

时，f（

b

2a

）≤1，化简即可得证；（2）①先证明必要性：讨论绝对值不等式|f（x）|≤1的解集为f（x）≤1或f（x）≥-1，分别得到a的范围，求出公共解集即可；②证明充分性；由b-1≤a得f（x）≥-1得到f（x）的取值范围，由a≤2

b

．f（x）≤1，求出公共解集得到f（x）的范围即可．
（3）先证必要性：f（x）≤1得到a-b≤1即a≤b+1；再证充分性：由a≤b+1得到f（x）≤1，得到|f（x）|≤1的充要条件．

解答：（1）证明：根据题设，对任意x∈R，都有f（x）≤1．
又f（x）=-b（x-

a

2b

）²+

a2

4b

．∴f（

a

2b

）=

a2

4b

≤1，
∵a＞0，b＞0，
∴a≤2

b

．
（2）证明：必要性：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1?f（x）≥-1．据此可推出f（1）≥-1，即a-b≥-1，∴a≥b-1．
对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1?f（x）≤1，因为b＞1，可得0＜

1

b

＜1，可推出f（

1

b

）≤1，即a•

1

b

-1≤1，∴a≤2

b

，∴b-1≤a≤2

b

．
充分性：因为b＞1，a≥b-1，对任意x∈[0，1]，可以推出ax-bx²≥b（x-x²）-x≥-x≥-1，即ax-bx²≥-1，因为b＞1，a≤2

b

对任意x∈[0，1]，可以推出：ax-bx²≤2

b

x-bx²-b（x-

1

b

）²+1≤1，即ax-bx²≤1，∴-1≤f（x）≤1．
综上，当b＞1时，对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件是b-1≤a≤2

b

．
（3）解：因为a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈[0，1]有f（x）=ax-bx²≥-b≥-1，即f（x）≥-1；
f（x）≤1?f（1）≤1?a-b≤1，即a≤b+1，
又a≤b+1?f（x）≤（b+1）x-bx²≤1，即f（x）≤1．
所以，当a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件是a≤b+1．

点评：让学生理解函数恒成立时满足的条件，会找一个命题的充分必要条件．