Question

6．化简求值：
①1!+2•2!+3•3!+…+n•n!；
②$\frac{1}{2！}$+$\frac{2}{3！}$+$\frac{3}{4！}$+…+$\frac{n-1}{n!}$．

Answer 1

分析 ①（根据 （n+1）!=n•n!+n!，得出n•n!=（n+1）!-n!，从而求出1!+2•2!+3•3!+…+n•n!的值，
②利用$\frac{n-1}{n!}$=$\frac{1}{（n-1）!}$-$\frac{1}{n!}$，裂项求和即可得到答案．

解答 解：①∵（n+1）!=（n+1）•n!=n•n!+n!，
∴n•n!=（n+1）!-n!，
∴1!+2•2!+3•3!+…+n•n!=（2!-1!）+（3!-2!）+（4!-3!）+…+[（n+1）!-n!]
=（n+1）!-1!．
②∵A_n+1ⁿ⁺¹-A_nⁿ=nA_nⁿ，
∴n=$\frac{{A}_{n+1}^{n+1}-{A}_{n}^{n}}{{A}_{n}^{n}}$=$\frac{（n+1）!-n!}{ni}$，
∴$\frac{n-1}{n!}$=$\frac{n!-（n-1）!}{n!（n-1）!}$=$\frac{1}{（n-1）!}$-$\frac{1}{n!}$，
∴$\frac{1}{2！}$+$\frac{2}{3！}$+$\frac{3}{4！}$+…+$\frac{n-1}{n!}$=1-$\frac{1}{2!}$+$\frac{1}{2!}$-$\frac{1}{3!}$+…+$\frac{1}{（n-1）!}$-$\frac{1}{n!}$=1-$\frac{1}{n!}$

点评 本题考查了排列数公式的应用问题，考查用排列组合数公式的性质A_n+1ⁿ⁺¹-A_nⁿ=nA_nⁿ对式子进行化简是本题的关键，属于中档题．