Question

对于数列{a_n}，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，称该等比数列为数列{a_n}的“差等比数列”，记为数列{b_n}．设数列{b_n}的首项b₁=2，公比为q（q为常数）．
（I）若q=2，写出一个数列{a_n}的前4项；
（II）（ⅰ）判断数列{a_n}是否为等差数列，并说明你的理由；
（ⅱ）a₁与q满足什么条件，数列{a_n}是等比数列，并证明你的结论；
（III）若a₁=1，1＜q＜2，数列{a_n+c_n}是公差为q的等差数列（n∈N*），且c₁=q，求使得c_n＜0成立的n的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因为数列{b_n}是等比数列，且b₁=2，q=2，所以b₂=4，b₃=8，由此能够求出一个数列{a_n}的前4项．
（Ⅱ）（ⅰ）因为b₁=2，所以．q=1时，数列{a_n}是等差数列．若q≠1时，数列{a_n}不是等差数列．
（ⅱ）因为数列{b_n}是等比数列，首项b₁=2，公比为q，所以b₂=2q，．所以a₂=a₁+2，a₃=a₁+2+2q．因为数列{a_n}是等比数列，所以，所以当q=时，数列{a_n}是等比数列．
（Ⅲ）因为{a_n+c_n}是公差为q的等差数列，所以（a_n+c_n）-（a_n-1+c_n-1）=q，由此猜想：当n≥3时，c_n＜0．再用数学归纳法证明．
解答：解：（Ⅰ）因为数列{b_n}是等比数列，且b₁=2，q=2，
所以b₂=4，b₃=8，
所以a₁=1，a₂=3，a₃=7，a₁₅=15．（写出满足条件的一组即可）
…（2分）
（Ⅱ）（ⅰ）因为b₁=2，
所以a₂-a₁=2，a₃-a₂=2q，，…，，n≥2．
所以．
①若q=1，所以a_n-a_n-1=2，
所以数列{a_n}是等差数列．…（3分）
②若q≠1，所以，
所以a_n+1-a_n=-==2q^n-1．
因为q≠1，所以2q^n-1不是常数．
所以数列{a_n}不是等差数列．…（5分）
（ⅱ）因为数列{b_n}是等比数列，首项b₁=2，公比为q，
所以b₂=2q，．所以a₂=a₁+2，a₃=a₁+2+2q．
因为数列{a_n}是等比数列，
所以，
即（a₂+2）²=a₁•（a₁+2+2q），
所以q=．
所以当q=时，数列{a_n}是等比数列．…（7分）
（Ⅲ）因为{a_n+c_n}是公差为q的等差数列，
所以（a_n+c_n）-（a_n-1+c_n-1）=q，
又，
所以，
所以，…，c₃-c₂=q-2q，c₂-c₁=q-2，
所以）
=nq-．…（9分）
所以c₁=q＞0，c₂=2（q-1）＞0，c₃=q-2＜0，
c₄=-2（q²-q+1）=-2（q-）²-＜0，…
猜想：当n≥3时，c_n＜0．
用数学归纳法证明：
①当n=3时，c₃＜0显然成立，
②假设当n=k（k≥3）时，c_k＜0，
那么当n=k+1时，＜q-2q^k-1=q（1-2q^k-2），
因为1＜q＜2，k≥3，
所以1-2q^k-2＜0．
所以c_n+1＜0，
所以当n=k+1时，c_n+1＜0成立．
由①、②所述，当n≥3时，恒有c_n＜0．…（14分）
点评：本题考查等差数列和等比数列的证明，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学归纳法的合理运用．