Question

抛物线y²=4x的顶点为O，点A的坐标为（5，0），倾斜角为

π

4

的直线l与线段OA相交（l不过点O和点A）且交抛物线于M、N两点，则△AMN的最大面积为

 

．

Answer 1

分析：根据斜率设出直线l的方程：y=x+b，S=

1

2

×|AB|×|y₁-y₂|，将直线方程与抛物线方程联立，表示出|y₁-y₂|=

(y1+y2) 2-4y1y2

=

16-16b

=4

1-b

，进而求出面积的最大值．

解答：解：设直线l：y=x+b，直线与x轴交点坐标为B（-b，0），
|AB|=|5+b|，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
联立y=x+b和y²=4x得y²-4y+4b=0   
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2) 2-4y1y2

=

16-16b

=4

1-b

三角形AMN的最大面积S=

1

2

×|AB|×|y₁-y₂|=2|5+b|×

1-b

=2×

-b3-9b2-15b+25

[-b³-9b²-15b+25]'=-3b²-18b-15=0，∴b=-1或b=-5（舍）
∴b=-1时，最大面积S=2×

-b3-9b2-15b+25

=8

2

故答案为：8

2

．

点评：本题考查了抛物线的应用，直线与圆锥曲线联立，利用韦达定理，是圆锥曲线中经常碰到的题型，应该熟练掌握．