Question

（本小题只理科做，满分14分）如图,已知平面,,△是正三角形,,且是的中点.

（1）求证:平面;

（2）求证:平面平面;

（3）求平面与平面所成锐二面角的大小.

 

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP||DE，且且FP=，而AB||DE，且AB=则ABPF为平行四边形，则AF||BP，AF平面BCE，BP?平面BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；

（2）根据AB平面ACD，DE||AB，则DE平面ACD，又AF?平面ACD，根据线面垂直的性质可知，满足线面垂直的判定定理，证得AF平面CDE，又BP||AF，则BP平面CDE，BP平面BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；

（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，根据线面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）为平面ACD的法向量，设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，根据可求出所求．

试题解析：（1）解:取CE中点P,连结FP、BP,
∵F为CD的中点,∴FP||DE,且FP=
又AB||DE,且AB=∴AB||FP,且AB=FP,
∴ABPF为平行四边形,∴AF||BP
又∵平面BCE,BP平面BCE,
∴AF||平面BCE
（2）∵△ACD为正三角形,∴.
∵AB平面ACD,DE||AB,
∴DE平面ACD,又AF平面ACD,
∴DEAF.又AFCD,CD∩DE=D,
∴AF平面CDE
又BP||AF,∴BP平面CDE.又∵BP平面BCE,
∴平面BCE⊥平面CDE
（3）法一、由（2）,以F为坐标原点,
FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴（如图）,

建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2,
则C（0,—1,0）,

设为平面BCE的法向量，
，令n=1,则
显然,为平面ACD的法向量.
设面BCE与面ACD所成锐二面角为
则.
即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为
法二、延长EB、DA,设EB、DA交于一点O,连结CO.
则面面.
由AB是的中位线,则.
在中, .
,又.
面而CE面ECD,

在中，
即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为.

考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．