Question

已知定点G（-3，0），S是圆C：（x-3）²+y²=72（C为圆心）上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E．设点E的轨迹为M．
（1）求M的方程；
（2）是否存在斜率为1的直线l，使得直线l与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可得点E的轨迹是以G，C为焦点，长轴长为6

2

的椭圆，进而可得椭圆M的方程；
（2）设直线l的方程为y=x+m，联立椭圆方程后，利用韦达定理，及向量垂直的充要条件，求出m的范围，根据二次方程根的个数与判断式的关系，判断后可得结论．

解答：解：（1）由题知|EG|=|ES|，所以|EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6

2

．
又因为|GC|=6＜6

2

，所以点E的轨迹是以G，C为焦点，长轴长为6

2

的椭圆，
动点E的轨迹方程为

x2

18

+

y2

9

=1．…（4分）
（2）假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，其方程为y=x+m，
由

y=x+m x2 18 + y2 9 =1

消去y，化简得3x²+4mx+2m²-18=0．
直线l与曲线M相交于A，B两点，
∴△=16m²-12（2m²-18）＞0
解得-3

3

＜m＜3

3

又由x1+x2=-

4m

3

，x1•x2=

2(m2-9)

3

．
因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，
所以

OA

•

OB

=0，所以x₁x₂+y₁y₂=0
又y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2，
x1x2+y1y2=2x1x2+m(x1+x2)+m2=

4(m2-9)

3

-

4m2

3

+m2=0，
解得m=±2

3

由于±2

3

∈(-3

3

，3

3

)，
所以符合题意的直线l存在，所求的直线l的方程为y=x+2

3

或y=x-2

3

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的轨迹问题，其中（1）的关键是熟练掌握椭圆的定义，（2）的关键是熟练掌握“联立方程+设而不求+韦达定理+向量垂直的充要条件”是解答的关键．