Question

自点A（0，-1）向抛物线C：y=x²作切线AB，切点为B，且B在第一象限，再过线段AB的中点M作直线l与抛物线C交于不同的两点E、F直线AF AE分别交抛物线C于P、Q两点
（1）求切线AB的方程及切点B的坐标；
（2）证明

PQ

=λ

AB

（λ∈R）．

Answer 1

分析：（1）设出切线的方程，代入抛物线，利用判别式等于0求得k，则直线AB的方程可得，求得切点B的坐标．
（2）把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，要证

PQ

=λ

AB

（λ∈R），只要PQ∥AB，证K_PQ=K_AB=2即可．根据K_PQ=

x42-x32

x4-x3

，APF三点共线推断出K_AP=K_AF，进而推断出好两直线平行且

PQ

=λ

AB

．

解答：解：（1）设切线AB的方程为y=kx-1，
代入y=x²得x²-kx+1=0，由△=k²-4=0得k=2，AB的方程为y=2x-1，易得切点B（1，1）
（2）线段AB的中点M（

1

2

，0），设过点M的直线l的方程为y=k（x-

1

2

），与y=x²交于E（x₁，x₁²），（x₂，x₂²）
由

y=k(x- 1 2 ) y=x2

得x²-kx+

1

2

k=0，有x₁+x₂=k，x₁x₂=

1

2

k
再设P（x₃，x₃²），Q（x₄，x₄²），要证

PQ

=λ

AB

（λ∈R），只要PQ∥AB，证K_PQ=K_AB=2即可
由K_PQ=

x42-x32

x4-x3

=x₃+x₄
∵APF三点共线，有K_AP=K_AF，∴

x32+1

x3

=

x22+1

x2

x₂x₃²+x₂=x₃x₂²+x₃，∴（x₂-x₃）（x₂x₃-1）=0，又x₂≠x₃∴x₂x₃=1
同理由AEQ三点共线得x₁x₄=1
∴k_PQ=x₃+x₄=

1

x2

+

1

x1

=

x1+x2

x1x2

=

k

1 2 k

=2
所以PQ∥AB，有

PQ

=λ

AB

（λ∈R）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联立，利用韦达定理和判别式找到解决问题的途径．