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在△ABC中,点B(0,1),直线AD:2x-y-4=0是角A的平分线.直线CE:x-2y-6=0是AB边的中线.
(1)求边AC的直线方程;
(2)圆M:x2+(y+1)2=r2(1≤r≤3),自点C向圆M引切线CF,CG,切点为F、G.求:
CF
CG
的取值范围.
分析:(1)设AB中点坐标为D(x0,y0),∵点B(0,1),则A点坐标为(2x0,2y0-1),把D(x0,y0)代入直线CE方程,把A点坐标(2x0,2y0-1)代入角A的平分线方程,求出x0,y0
的值,可得A点坐标.再由B点关于2x-y-4=0的对称点(4,-1)在直线AC上,由两点式求直线AC的方程.
(2)把CE和AC的方程联立方程组求出点C的坐标,利用两个向量的数量积的定义求出
CG
CF
=
1
8
[(r2-12)2-16]
,再由二次函数的性质求得
CF
CG
的最大值和最小值,
从而得到
CF
CG
的取值范围.
解答:解:(1)设AB中点坐标为(x0,y0),∵点B(0,1),则A点坐标为(2x0,2y0-1).
依题意得
x0-2y0-6=0
4x0-(2y0-1)-4=0
,解之得:
x0=-1
y0=-
7
2
,∴A(-2,-8),
由于B点关于2x-y-4=0的对称点(4,-1)在直线AC上.∴直线AC的方程为
y+1
-8+1
=
x-4
-2-4
,即 7x-6y-34=0.
(2)由
7x-6y-34=0
x-2y-6=0
  解得
x=4
y=-1
,即C(4,-1),又 圆心M(0,-1),
CG
CF
=|
CG
|•|
CF
|•cos∠FCG
=(16-r2)cos2∠CFM=(16-r2)(1-2sin2∠GCM)=(16-r2)[1-2(
r
4
)2]=
1
8
[(r2-12)2-16]

∵1≤r≤3,∴1≤r2≤9,由单调性得
CG
CF
|max
=
1
8
×(121-16)=
105
8
CG
CF
|min
=
1
8
×(9-16)=-
7
8

CG
CF
的取值范围为[-
7
8
105
8
]
点评:本题主要考查两个向量的数量积的定义,用两点式求直线方程,圆的切线性质,以及在闭区间上求二次函数的最值,属于中档题.
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