Question

在△ABC中，点B（0，1），直线AD：2x-y-4=0是角A的平分线．直线CE：x-2y-6=0是AB边的中线．
（1）求边AC的直线方程；
（2）圆M：x²+（y+1）²=r²（1≤r≤3），自点C向圆M引切线CF，CG，切点为F、G．求：的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设AB中点坐标为D（x，y），∵点B（0，1），则A点坐标为（2x，2y-1），把D（x，y）代入直线CE方程，把A点坐标（2x，2y-1）代入角A的平分线方程，求出x，y
的值，可得A点坐标．再由B点关于2x-y-4=0的对称点（4，-1）在直线AC上，由两点式求直线AC的方程．
（2）把CE和AC的方程联立方程组求出点C的坐标，利用两个向量的数量积的定义求出=，再由二次函数的性质求得的最大值和最小值，
从而得到 的取值范围．
解答：解：（1）设AB中点坐标为（x，y），∵点B（0，1），则A点坐标为（2x，2y-1）．
依题意得，解之得：，∴A（-2，-8），
由于B点关于2x-y-4=0的对称点（4，-1）在直线AC上．∴直线AC的方程为 ，即 7x-6y-34=0．
（2）由   解得，即C（4，-1），又 圆心M（0，-1），
∴==（16-r²）cos2∠CFM=（16-r²）（1-2sin²∠GCM）=，
∵1≤r≤3，∴1≤r²≤9，由单调性得 =，=．
∴的取值范围为．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，用两点式求直线方程，圆的切线性质，以及在闭区间上求二次函数的最值，属于中档题．