Question

（2011•天津模拟）已知函数f（x）=sinωx-

3

cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于

π

2

，若将函数y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）是减函数的区间为（　　）

• A．(

  π

  4

  ，

  π

  3

  )
• B．(-

  π

  4

  ，

  π

  4

  )
• C．(0，

  π

  3

  )
• D．(-

  π

  3

  ，0)

Answer 1

分析：由已知可求出函数f（x）的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数y=g（x）的解析式，根据正弦函数的性质分析出函数的单调性后，比照四个答案即可得到结论．

解答：解：∵函数f（x）=sinωx-

3

cosωx=2sin（ωx-

π

3

）
又∵函数f（x）=sinωx-

3

cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于

π

2

=

T

2

故函数的最小正周期T=π，
又∵ω＞0
∴ω=2
故f（x）=2sin（2x-

π

3

）
将函数y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位可得y=g（x）=2sin[2（x+

π

6

）-

π

3

]=2sin2x的图象
令

π

2

+2kπ≤2x≤

3π

2

+2kπ，即

π

4

+kπ≤x≤

3π

4

+kπ，k∈Z
故函数y=g（x）的减区间为[

π

4

+kπ，

3π

4

+kπ]，k∈Z
当k=0时，区间[

π

4

，

3π

4

]为函数的一个单调递减区间
又∵(

π

4

，

π

3

)⊆[

π

4

，

3π

4

]
故选A

点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，熟练掌握正弦型函数的图象性质及变换法则是解答本题的关键．