Question

（2013•唐山二模）函数f(x)=2sinπx-

3x-x2

所有零点的和等于（　　）

A．6

B．7.5

C．9

D．12

Answer 1

分析：函数的零点即方程2sinπx=

3x-x2

的解，即函数h（x）=2sinπx 与函数g（x）=

3x-x2

的图象交点的横坐标，注意函数f（x）所有零点关于直线x=

3

2

对称，
数形结合求得函数f（x）所有零点的和．

解答：解：函数的零点即方程2sinπx=

3x-x2

的解，即函数h（x）=2sinπx 与函数g（x）=

3x-x2

的图象交点的横坐标．
∵h（0）=g（0），故两函数的图象都是从原点出发，（0，0）是一个交点，
由于函数g（x）的定义域为[0，3]，h（3）=g（3）=0，且两个函数的图象都关于直线x=

3

2

对称．
函数g（x）对应的曲线方程为 (x-

3

2

)2+y²=

9

4

（ y≥0），表示一个半圆（用虚线画），如图中所示：
可见，这两个函数的图象在区间[0，3]上有4个交点，且这些交点关于直线x=

3

2

对称，而两个关于直线x=

3

2

对称的点的横坐标之和等于3，
故函数f（x）所有零点的和是6，
故选A．

点评：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，体现了等价转化和数形结合的数学思想，属于中档题．