【题目】已知数列{an}满足a1=1,Sn=2an+1 , 其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*).
(Ⅰ)求S1 , S2及数列{Sn}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}满足 ,且{bn}的前n项和为Tn , 求证:当n≥2时, .
【答案】解:(Ⅰ)数列{an}满足Sn=2an+1,则Sn=2an+1=2(Sn+1﹣Sn),即3Sn=2Sn+1,
∴ ,
即数列{Sn}为以1为首项,以 为公比的等比数列,
∴Sn=( )n﹣1(n∈N*).
∴S1=1,S2= ;
(Ⅱ)在数列{bn}中, ,
Tn为{bn}的前n项和,
则|Tn|= |= .
而当n≥2时, ,
即
【解析】(Ⅰ)根据数列的递推公式得到数列{Sn}为以1为首项,以 为公比的等比数列,即可求出通项公式,再代值计算即可,(Ⅱ)先求出bn,再根据前n项和公式得到|Tn|,利用放缩法即可证明.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E是棱PA的中点,则异面直线BE与AC所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A∈C,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点;
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为 ,求p的值及圆F的方程;
(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.
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【题目】己知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x+1)为奇函数,f(0)=0,当x∈(0,1]时,f(x)=log2x,则在区间(8,9)内满足方f(x)程f(x)+2=f( )的实数x为 ( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体,则截面面积为( )
A.4π
B.πh2
C.π(2﹣h)2
D.π(4﹣h2)
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【题目】以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程为 ,(t为参数,0<θ<π),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当θ变化时,求|AB|的最小值.
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【题目】已知某企业的近3年的前7个月的月利润(单位:百万元)如下面的折线图所示:
(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高?
(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势;
(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表),用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润.
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 |
利润y(单位:百万元) | 4 | 4 | 6 | 6 |
相关公式: = = , = ﹣ x.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(﹣1,0),(1,0),且AC、BC所在直线的斜率之积等于﹣2,记顶点C的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设直线y=2x+m(m∈R且m≠0)与曲线E相交于P、Q两点,点M( ,1),求△MPQ面积的取值范围.
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