Question

在数列{a_n}中，已知a₁=p＞0，且，n∈N
（1）若数列{a_n}为等差数列，求p的值．
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）设数列{a_n}的公差为d，由题意知

d2=1 2a1d-d2=3 a12-a1d=2

，由此可知p=2．
（2）由题意知∴a_n+2•a_n+1=（n+2）（n+3），所以

an+2

an

=

n+3

n+1

，由此入手能够求出Sn=

(n+1)(n+3) 8 p+ (n-1)(n+3) 2p ，n为奇数 n(n+2) 8 p+ n(n+4) 2p ，n为偶数

．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
则a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1=a₁+nd，
依题得：[a₁+（n-1）d]（a₁+nd）=n²+3n+2，对n∈N^*恒成立．
即：d²n²+（2a₁d-d²）n+（a₁²-a₁d）=n²+3n+2，对n∈N^*恒成立．
所以

d2=1 2a1d-d2=3 a12-a1d=2

，
即：

d=1 a1=2

或

d=-1 a1=-2

∵a₁=p＞0，故p的值为2．
（2）∵a_n+1•a_n=n²+3n+2=（n+1）（n+2）
∴a_n+2•a_n+1=（n+2）（n+3）
所以

an+2

an

=

n+3

n+1

①当n为奇数，且n≥3时，

a3

a1

=

4

2

，

a5

a3

=

6

4

，

an

an-2

=

n+1

n-1

4．相乘得

an

a1

=

n+1

2

，5所以an=

n+1

2

p．当n=1也符合．
②当n为偶数，且n≥4时，

a6

a4

=

7

5

an

an-2

=

n+1

n-1

相乘得

an

a2

=

n+1

3

，所以an=

n+1

3

a2∵a₁•a₂=6，所以a2=

6

p

．因此an=

2(n+1)

p

，当n=2时也符合．
所以数列{a_n}的通项公式为an=

n+1 2 p，n为奇数 2(n+1) p ，n为偶数

．
当n为偶数时，
Sn=p+

6

p

+2p+

10

p

++

n

2

p+

2(n+1)

p

=p•

n 2 (1+ n 2 )

2

+

2

p

•

n 2 (3+n+1)

2

=

n(n+2)

8

p+

n(n+4)

2p

当n为奇数时，n-1为偶数，
Sn=Sn-1+an=

(n-1)(n-1+2)

8

p+

(n-1)(n-1+4)

2p

+

n+1

2

p=

(n+1)(n+3)

8

p+

(n-1)(n+3)

2p

所以Sn=

(n+1)(n+3) 8 p+ (n-1)(n+3) 2p ，n为奇数 n(n+2) 8 p+ n(n+4) 2p ，n为偶数

点评：本题考查数列知识的综合应用，解题时要认真审题，注意计算能力的培养．