Question

13．已知函数f（x）=x+$\frac{9}{x}$．
（1）判断并证明f（x）在（3，+∞）上的单调性；
（2）求函数f（x）在[6，9]上的最值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=x+$\frac{9}{x}$在（3，+∞）上递增．由单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论；
（2）由（1）可得函数f（x）在[6，9]上递增．计算可得最值．

解答 解：（1）函数f（x）=x+$\frac{9}{x}$在（3，+∞）上递增．
理由：设3＜m＜n，f（m）-f（n）=m+$\frac{9}{m}$-（n+$\frac{9}{n}$）
=（m-n）（1-$\frac{9}{mn}$），
由3＜m＜n，可得m-n＜0，mn＞9，即为1-$\frac{9}{mn}$＞0，
即有f（m）-f（n）＜0，即有f（x）在（3，+∞）上递增；
（2）由（1）可得函数f（x）在[6，9]上递增．
即有x=6处取得最小值，且为$\frac{15}{2}$；
x=9处取得最大值，且为10．

点评 本题考查函数的单调性的判断和证明，考查单调性的运用：求最值，属于基础题．