Question

（2012•河南模拟）已知点F₁、F₂分别是椭圆

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，A、B是以O（O为坐标原点）为圆心、|OF₁|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F₂AB是正三角形，则此椭圆的离心率为（　　）

• A．

  3

  -1
• B．

  3

  2

• C．

  2

  -1
• D．

  3

Answer 1

分析：根据A、B是以O（O为坐标原点）为圆心、|OF₁|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F₂AB是正三角形，确定|F₁A|=c，|F2A|=

3

c，再利用椭圆的定义可得结论．

解答：解：由题意，∵A、B是以O（O为坐标原点）为圆心、|OF₁|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，
∴|OA|=|OB|=|OF₂|=c
∵△F₂AB是正三角形，
∴|F2A|=

3

c
∴|F₁A|=c，
∵|F₁A|+|F₂A|=2a
∴(1+

3

)c=2a
∴

c

a

=

2

1+ 3

=

3

-1
故选A．

点评：本题考查椭圆的性质和应用，考查椭圆的定义，属于基础题．