Question

下列几个命题：
①函数f(x)=(

x

)2与g（x）=x表示的是同一个函数；
②若函数f（x）的定义域为[1，2]，则函数f（x+1）的定义域为[2，3]；
③若函数f（x）的值域是[1，2]，则函数f（x+1）的值域为[2，3]；
④若函数f（x）=x²+mx+1是偶函数，则函数f（x）的减区间为（-∞，0]．
其中正确的命题有

 

个．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：利用函数的定义及其性质、平移变换即可得出．

解答： 解：①函数f(x)=(

x

)2的定义域为[0，+∞），g（x）=x的定义域为R，因此两个函数的定义域不同，表示的不是同一个函数，故①不正确；
②若函数f（x）的定义域为[1，2]，则1≤x+1≤2，解得0≤x≤1，∴函数f（x+1）的定义域为[0，1]，因此不正确；
③把函数f（x）的图象相左平移1个单位可得函数f（x+1）的图象，因此函数f（x+1）的值域没有改变，仍然是[1，2]，因此③不正确；
④若函数f（x）=x²+mx+1是偶函数，则f（-x）=f（x），化为mx=0，对于任意实数x都成立，∴m=0．
∴函数f（x）=x²+1，因此函数f（x）的减区间为（-∞，0]，正确．
综上可知：只有④正确．
故答案为：1．

点评：本题考查了函数的定义及其性质、平移变换，属于中档题．