Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）（c＞0）作圆x²+y²=

a2

4

的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若|

OF

|=|

OP

|，则双曲线的离心率（　　）

• A、

  10

  2

• B、

  10

  5

• C、

  10

• D、

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，连结PF′，OE，由已知条件，利用双曲线的性质，推导出|PF|a，|PF|=3a，PF⊥PF′，由此能求出双曲线的离心率．

解答： 解：设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右焦点为F′，
连结PF′，OE，
∵过左焦点F（-c，0）（c＞0）作圆x²+y²=

a2

4

的切线，切点为E，
∴OE⊥PF，
又∵|OF|=|OP|，∴E为PF的中点，∴OE∥PF′，
∴|PF|=2|OE|=2×

a

2

=a，
由双曲线定义知|PF|-|PF′|=2a，
∴|PF|=|PF′|+2a=3a，
∵OE∥PF′，∴PF⊥PF′，
在Rt△PFF′中，（3a）²+a²=（2c）²，
解得c=

10

2

a，
∴e=

c

a

=

10

2

．
故选：A．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．