Question

定义全集U的非空子集P的特征函数f_p（x）=

1，x∈P 0，x∈∁UP

，这里∁_UP表示集合P在全集U的补集．已知A，B均为全集U的非空子集，给出下列命题：
①若A⊆B，则对于任意x∈U，都有f_A（x）≤f_B（x）；
②对于任意x∈U，都有f_∁UA（x）=1-f_A（x）；
③对于任意x∈U，都有f_A∩B（x）=f_A（x）•f_B（x）；
④对于任意x∈U，都有f_A∪B（x）=f_A（x）+f_B（x）．
则正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：综合题,集合

分析：根据题中特征函数的定义，利用集合的交集、并集和补集运算法则，对①②③④各项中的运算加以验证，可得①②③都可以证明它们的正确性，而D项可通过反例说明它不正确．由此得到本题答案．

解答： 解：∵f_A（x）=

1，x∈A 0，x∈CUA

，f_B（x）=

1，x∈B 0，x∈CUB

，
而C_UA中可能有B的元素，但C_UB中不可能有A的元素
∴f_A（x）≤f_B（x），
即对于任意x∈U，都有f_A（x）≤f_B（x）故①正确；
对于B，∵f_∁UA（x）=

1，x∈CUA 0，x∈A

，
结合f_A（x）的表达式，可得f_∁UA（x）=1-f_A（x），故②正确；
对于C，f_A∩B（x）=

1，x∈A∩B 0，x∈CU(A∩B)

=

1，x∈A 0，x∈CUA

•

1，x∈B 0，x∈CUB

=f_A（x）•f_B（x），
故③正确；
对于D，f_A∪B（x）=

1，x∈A∪B 0，x∈CU(A∪B)

当某个元素x在A中但不在B中，由于它在A∪B中，故f_A∪B（x）=1，
而f_A（x）=1且f_B（x）=0，可得f_A∪B（x）≠f_A（x）•f_B（x）
由此可得④不正确．
故答案为：①②③．

点评：本题给出特征函数的定义，判断几个命题的真假性，着重考查了集合的运算性质和函数对应法则的理解等知识，属于中档题．