Question

设函数f（x）=

a×2x-1

1+2x

（a∈R），且对任意x∈R，均满足f（-x）=-f（x）
（1）求a的值；
（2）求f（4）的值；
（3）解不等式：0＜f（x-2）＜

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．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数的周期性

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由f（-x）=-f（x），化简整理，即可得到a=1；
（2）写出f（x）的解析式，代入x=4，即可得到；
（3）先判断函数的单调性，再由f（0）=0，f（4）=

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，即可得到0＜x-2＜4，解得即可得到解集．

解答： 解：（1）由f（-x）=-f（x），可得

a•2-x-1

1+2-x

=-

a•2x-1

1+2x

，
即有a-2^x=1-a•2^x，即为（a-1）•2^x=1-a，
由于x∈R，则a=1；
（2）由于f（x）=

2x-1

2x+1

，
则f（4）=

24-1

24+1

=

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；
（3）由于f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
由y=2^x递增，y=2^x+1递增，y=

2

2x+1

递减，
则f（x）在R上递增．
且有f（0）=0，f（4）=

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，
不等式0＜f（x-2）＜

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，
即为f（0）＜f（x-2）＜f（4），
则有0＜x-2＜4，
解得2＜x＜6．
则解集为（2，6）．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．