Question

16、如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，M、N分别是A₁C₁、BC₁的中点．
（I）求证：BC₁⊥平面A₁B₁C；
（II）求证：MN∥平面A₁ABB₁．

Answer 1

分析：（I）欲证B₁C⊥平面A₁B₁C，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证B₁C与平面A₁B₁C内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质知A₁B₁⊥BC₁，连接B₁C，得BC₁⊥B₁C，结论得证；
（II）欲证MN∥平面A₁ABB₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面A₁ABB₁内一直线平行即可，连接A₁B，由M、N分别为A₁C₁、BC₁的中点可得MN∥A₁B．

解答：解：（I）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴B₁B⊥面A₁B₁C₁．
∴B₁B⊥A₁B₁．
又∵A₁B₁⊥B₁C₁，∴A₁B₁⊥面BCC₁B₁．
∴A₁B₁⊥BC₁，
连接B₁C，∵矩形BCC₁B₁中，BB₁=CB=2，
∴BC₁⊥B₁C，∴B₁C⊥平面A₁B₁C．
（II）连接A₁B，由M、N分别为A₁C₁、BC₁的中点可得，
MN∥A₁B又∵A₁B₁?平面A₁ABB₁，MN?平面A₁ABB₁，
∴MN∥平面A₁ABB₁．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．