Question

已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为y=

4 3

3

，离心率e=

3

2

，M是椭圆上的动点
（Ⅰ）若C，D的坐标分别是(0，-

3

)，(0，

3

)，求|MC|•|MD|的最大值；
（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为（1，0），B是圆x²+y²=1上的点，N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：

OQ

=

OM

+

ON

，

QA

•

BA

=0、求线段QB的中点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．设c=

a2-b2

，由准线方程y=

4 3

3

．由此能够求出椭圆方程．从而得到点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．
（II）设M（x_m，y_m），B（x_B，y_B）Q（x_Q，y_Q）．因为N(xN，0)，

OM

+

ON

=

OQ

，故x_Q=2x_N，y_Q=y_M，x_Q²+y_Q²=（2x_M）²+y^y=4．因为

QA

•

BA

=0，（1-x_Q-y_Q）•（1-x_N-y_n）=（1-x_Q）（1-x_N）+y_Qy_N=0，所以x_Qx_N+y_Qy_N=x_N+x_Q-1．由此可导出动点P的轨迹方程为(x-

1

2

)2+y2=1．

解答：解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，
故设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．
设c=

a2-b2

，由准线方程y=

4 3

3

得．
由e=

3

2

得

c

a

=

3

2

，解得a=2，c=

3

，
从而b=1，椭圆方程为x2+

y2

4

=1．
又易知C，D两点是椭圆x2+

y2

4

=1的焦点，
所以，|MC|+|MD|=2a=4
从而|MC|•|MD|≤(

|MC|+|MD|

2

)2=22=4，
当且仅当|MC|=|MD|，
即点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．
（II）如图（20）图，设M（x_m，y_m），B（x_B，y_B）Q（x_Q，y_Q）．
因为N(xN，0)，

OM

+

ON

=

OQ

，
故x_Q=2x_N，y_Q=y_M，x_Q²+y_Q²=（2x_M）²+y^y=4①
因为

QA

•

BA

=0，
（1-x_Q-y_Q）•（1-x_N-y_n）
=（1-x_Q）（1-x_N）+y_Qy_N=0，
所以x_Qx_N+y_Qy_N=x_N+x_Q-1．②
记P点的坐标为（x_P，y_P），因为P是BQ的中点
所以2x_P=x_Q+x_P，2y_P=y_Q+y_P
由因为x_N²+y_N²=1，结合①，②得

x

2 P

+

y

2 P

=

1

4

((xQ+xN)2+(yQ+yN)2)
=

1

4

(

x

2 Q

+

x

2 N

+

y

2 Q

+

y

2 n

+2(xQxN+yQyN))
=

1

4

(5+2(xQ+xN-1))=

3

4

+xP
故动点P的轨迹方程为(x-

1

2

)2+y2=1

点评：本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细求解．