Question

在△ABC中，AB边上的中线CO=4，若动点P满足

PA

=sin2

θ

2

OA

+cos2

θ

2

CA

(θ∈R)，则(

PA

+

PB

)•

PC

的最小值是

-8

．

Answer 1

分析：令λ=sin2

θ

2

，0≤λ≤1，可得

PA

=

OA

+（λ-1）

OC

，再由

PA

=

OA

-

OP

 可得-

OP

=（λ-1）

OC

．故要求的式子可化为 2λ（λ-1）•16，再利用二次函数的性质求得它的最小值．

解答：解：令λ=sin2

θ

2

，0≤λ≤1，则1-λ=cos2

θ

2

，
∴

PA

=λ

OA

+（1-λ）

CA

=

OA

+（λ-1）

OC

．
再由

PA

=

OA

-

OP

 可得-

OP

=（λ-1）

OC

．
故 (

PA

+

PB

)•

PC

=(

OA

+

OB

-2

OP

)•(

OC

-

OP

)=(

OA

+

OB

+(2λ-2)

OC

)•λ

OC

=2

OA

•

OC

+2

OB

•

OC

+2（λ-1）λ

OC

2=2λ（λ-1）•16，
故当λ=

1

2

时，2λ（λ-1）8 取得最小值为-8，
故答案为-8．

点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，二次函数的性质应用，属于中档题．