Question

设集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M为“和谐垂直偶点集”，给出下列四个集合：
（1）M={（x，y）|y=x^-2，x＜0}；
（2）M=（x，y）|y=ln（x-1）}；
（3）M={（x，y）|y=sinx+1}；
（4）M={（x，y）|y=e^x-3}．
其中是“和谐垂直偶点集”的序号是（　　）

• A、（1）（2）
• B、（1）（3）
• C、（2）（4）
• D、（3）（4）

Answer 1

分析：利用x负半轴，y的正半轴为渐近线的曲线，判断其正误即可．对于②、③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；

解答：解：对于①，M={（x，y）|y=x^-2，x＜0}；以x负半轴，y的正半轴为渐近线的曲线，x负半轴，y的正半轴的夹角为90°，在同一支上，
任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，所以不满足“和谐垂直偶点集”的定义，不是“和谐垂直偶点集”．
对于②，M={（x，y）|y=ln（x-1）}，取点（2，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“和谐垂直偶点集”．
对于③，M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“和谐垂直偶点集”的定义，所以M是“和谐垂直偶点集”；正确．
对于④，M={（x，y）|y=e^x-3}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如取M（0，-2），则N（ln3，0），满足“和谐垂直偶点集”的定义，所以是“和谐垂直偶点集”；正确．
故选：C．

点评：本题考查“和谐垂直偶点集”的定义，利用对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，是本题解答的关键，函数的基本性质的考查，注意存在与任意的区别．