Question

经过(0,2)、(1,3-2)、(,-1)三点,且对称轴平行于y轴的抛物线D与x轴相交于A、B(B在A点右侧)两点,以该抛物线顶点C为圆心,以|CA|为半径作圆C.

(1)求证:坐标原点O在圆C外;

(2)过点O作直线l,使直线l与⊙C在第一象限相切,求直线l与直线AC所成的角.

Answer 1

(1)证明:依题意,设抛物线D的方程为y=ax²+bx+c,

则

∴y=x²-2x+2=(x-)²-1.

∴抛物线D的顶点坐标为C(,-1),与x轴的交点为A(-1,0),B(+1,0).

又|AC|=,

故圆C的方程为(x-)²+(y+1)²=2.

∵(0-)²+(0+1)²=4＞2,

∴坐标原点O在圆C外.

(2)解:设直线l的方程为y=kx,即kx-y=0.

依题意得.

∴3k²+2k+1=2+2k²,

即k²+2k-1=0.

∴k=--2(舍)或k=-+2.

又k_AC==-1,

∴直线l与直线AC所成的角α满足

tanα=| |

=.

∴α=.

故直线l与直线AC所成的角为.