Question

11．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，点P，Q，R分别是线段B₁B，AB和A₁C上的动点，观察直线CP与D₁Q，CP与D₁R给出下列结论：
①对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D₁Q；
②对于任意给定的点P，存在点Q，使得D₁Q⊥CP；
③对于任意给定的点R，存在点P，使得CP⊥D₁R；
④对于任意给定的点P，存在点R，使得D₁R⊥CP．
其中正确的结论是（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①④
• D． ②④

Answer 1

分析 根据直线与直线、直线与平面的位置关系，结合正方体的性质，分别分析选项，利用排除法能得出结论．

解答 解：①只有D₁Q⊥平面BCC₁B₁，即D₁Q⊥平面ADD₁A₁时，
才能满足对于任意给定的点P，存在点Q，使得D₁Q⊥CP，
∵过D₁点于平面DD₁A₁A垂直的直线只有一条D₁C₁，
而D₁C₁∥AB，
∴①错误；
②当点P与B₁重合时，
CP⊥AB，且CP⊥AD1，
∴CP⊥平面ABD₁，
∵对于任意给定的点Q，都有D₁Q?平面ABD₁，
∴对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D₁Q，
∴②正确；
③只有CP垂直D₁R在平面BCC₁B₁中的射影时，D₁R⊥CP，
∴③正确；
④只有CP⊥平面A₁CD₁时，④才正确，
∵过C点的平面A₁CD₁的垂线与BB₁无交点，
∴④错误．
故选：B

点评 本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．