Question

若关于x的方程|a^x-1|-2x=0有两个不相等的实数解，则实数a的取值范围是（　　）

• A．(0，

  1

  e

  )∪(1，e)
• B．(0，

  1

  2e

  )∪(1，2e)
• C．(0，

  1

  e2

  )∪(1，e2)
• D．（1，e²）

Answer 1

分析：由方程|a^x-1|-2x=0得|a^x-1|=2x，分别在坐标系作出函数y=|a^x-1|和y=2x的图象，利用两个图象有两个不相等的交点，确定实数a的取值范围．

解答：解：由方程|a^x-1|-2x=0得|a^x-1|=2x，
设y=|a^x-1|和y=2x，
分别在坐标系作出函数y=|a^x-1|和y=2x的图象．
①若a＞1，则对应图象为上图
此时当x≥0时，y=|a^x-1|=a^x-1，函数的导数为y'=a^xlna≥lna，此时函数切线效率的最小值为lna，
∴要使两个图象有两个不相等的交点，则2＞lna，即1＜a＜e²．
②若0＜a＜1，则对应图象为下图
此时当x≥0时，y=|a^x-1|=1-a^x，函数的导数为y'=-a^xlna≤-lna，此时函数切线效率的最大值为-lna，
∴要使两个图象有两个不相等的交点，则切线效率-lna＞2，即lna＜-2，解得0＜a＜

1

e2

．
综上实数a的取值范围是1＜a＜e²或0＜a＜

1

e2

．
故选C．

点评：本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，综合性较强，难度较大．