Question

已知函数（a∈R）
（1）若f（1）=1，求实数a的值并计算f（-1）+f（3）的值；
（2）若不等式f（x）≥0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=-1时，设g（x）=f（x+b），是否存在实数b使g（x）为奇函数．若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（本题12分）
解：（1）∵f（1）=1，
∴，即1+a=1，∴a=0
∴，
∴．
（2）∵f（x）≥0，即，
亦即对任意的x∈[1，+∞）恒成立，
设，
∵，
∴h（x）在x∈[1，+∞）时是增函数，所以h_min（x）=h（1）=-1
∴a≥-1即可．
故实数a的取值范围是[-1，+∞）．
（3）∵a=-1，
∴，
∴，
方法一：
∵g（x）是奇函数，且x∈R，∴g（0）=0
∴，∴2^b-1=2^1-b，即2^b-1=1，所以b=1．
当b=1时，，∵，
∴g（x）是奇函数．
故存在b=1，使g（x）是奇函数．
方法二：
∵g（x）是奇函数，∴g（-x）=-g（x），令b-1=c
即
∴2^2c+2^-2x-2^2x-2^-2c=-（2^2c+2^2x-2^-2x-2^-2c）
∴2^2c-2^-2c=0，即2^4c=1，即c=0，即b=1．
方法三：【这种做法也给分】
当b=1时，，
∵，∴g（x）是奇函数．
所以存在b=1，使g（x）是奇函数．
分析：（1）由f（1）=1，知1+a=1，由此能求出实数a的值和f（-1）+f（3）的值．
（2）由f（x）≥0，知对任意的x∈[1，+∞）恒成立，构构造函数，能求出实数a的取值范围．
（3）由a=-1，知，由此能推导出存在b=1，使g（x）是奇函数．
点评：本题考查函数值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，探索使得函数为奇函数的实数值是否存在．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．