Question

6．已知盒中有大小相同的3个红球t个白球共3+t个球，从盒中一次性取出3个球，取到白球的期望为$\frac{6}{5}$．若每次不放回地从盒中抽取一个球，一直到抽出所有白球时停止抽取，设X为停止抽取时取到的红球个数，
（Ⅰ）求白球的个数t；   
（Ⅱ）求X的分布列以及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定红球、白球比为3：2，即可求白球的个数t；   
（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可求X的分布列以及数学期望．

解答 解：（Ⅰ）∵盒中有大小相同的3个红球和t个白球，
从盒中一次性取出3个球，取到白球个数的期望为$\frac{6}{5}$，
∴取得红球个数的期望为$\frac{9}{5}$（加起来是3），
∴红球、白球比为3：2，
∴白球有2个；
（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3，则
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=0.1，P（X=1）=$\frac{3}{5}×\frac{2}{4}×\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=0.3
P（X=2）=$\frac{3}{5}×\frac{2}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{3}{5}×\frac{2}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=0.3
P（X=3）=1-0.1-0.3-0.3=0.3
X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.1	0.3	0.3	0.3

X的数学期望为：E（X）=1×0.3+2×0.3+3×0.3=1.8

点评 本题考查概率的求法和离散型随机变量的数学期望的应用，是中档题．