Question

（2010•青岛一模）已知定义在正实数集上的函数f(x)=

1

2

x2+2ex，g（x）=3e²lnx+b（其中e为常数，e=2.71828…），若这两个函数的图象有公共点，且在该点处的切线相同．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）当x∈[1，e]时，2(f(x)-2ex)+

a

6e2

(2g(x)+e2)≤(a+2)x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，利用函数f(x)=

1

2

x2+2ex与g（x）=3e²lnx+b的图象有公共点为（x₀，y₀），建立方程组，即可求得实数b的值；
（Ⅱ）原不等式可化为a（x-lnx）≥x²-2x，分离参数可得a≥

x2-2x

x-lnx

在[1，e]上恒成立，构造F(x)=

x2-2x

x-lnx

，x∈[1，e]，确定F（x）在[1，e]上为增函数，求出函数的最大值，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）求导数可得：f'（x）=x+2e，g′(x)=

3e2

x

…（2分）
设函数f(x)=

1

2

x2+2ex与g（x）=3e²lnx+b的图象有公共点为（x₀，y₀）
由题意得 

1 2 x02+2ex0=3e2lnx0+b x0+2e= 3e2 x0 x0＞0

…（4分）
解得：b=-

e2

2

…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(x)=3e2lnx-

e2

2

所以2(f(x)-2ex)+

a

6e2

(2g(x)+e2)=x2+alnx，即a（x-lnx）≥x²-2x…（1）
当x∈[1，e]时，lnx≤1≤x，且等号不能同时成立，∴x-lnx＞0
所以由（1）式可得a≥

x2-2x

x-lnx

在[1，e]上恒成立   …（9分）
设F(x)=

x2-2x

x-lnx

，x∈[1，e]，则F′(x)=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

…（11分）
显然有x-1≥0，又lnx≤1，∴x+2-2lnx＞0
所以F'（x）≥0（仅当x=1时取等号），
∴F（x）在[1，e]上为增函数 …（12分）
故F(x)max=F(e)=

e2-2e

e-1

所以实数a的取值范围是[

e2-2e

e-1

，+∞)．…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，确定函数的最值，属于中档题．