Question

已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．
求证：（1）MN∥平面PAD；
（2）MN⊥CD；
（3）当∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）证明取PD的中点Q，连接NQ，证明NQ∥MA，NQ=MA，从而四边形MNQA为平行四边形，MN∥PQ，再根据直线和平面平行的判定定理证得 MN∥平面PAD．
（2）先证明PA⊥CD，CD⊥AD从而证明CD⊥平面PAD．根据AQ在平面PAD内，可得CD⊥AQ，从而CD⊥MN．
（3）证明：当∠PDA=45°时，△PAD为等腰直角三角形，得到AQ⊥PD，再由CD⊥AQ，可得AQ⊥平面PCD，从而得到 MN⊥平面PCD．

解答：解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点，再取PD的中点Q，连接NQ，
则有NQ∥

1

2

CD，且NQ=

1

2

CD．同理可得 MA∥

1

2

CD，且 MA=

1

2

CD．
∴NQ∥MA，NQ=MA．  故四边形MNQA为平行四边形，∴MN∥PQ．
而AQ在平面PAD内，MN不在平面PAD内，∴MN∥平面PAD．
（2）证明：再由PA⊥平面ABCD可得，PA⊥CD，再由四边形ABCD为矩形，可得CD⊥AD．
这样，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线，故CD⊥平面PAD． 而AQ在平面PAD内，∴CD⊥AQ，∴CD⊥MN．
（3）证明：当∠PDA=45°时，△PAD为等腰直角三角形，∴AQ⊥PD．
再由CD⊥AQ，可得AQ⊥平面PCD，∴MN⊥平面PCD．

点评：本题考查证明线面平行、线线垂直、线面垂直的方法，直线和平面平行的判定、直线和平面垂直的判定，属于中档题．