Question

6．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²，a∈R．
（1）若a=-1时，讨论函数f（x）的单调性．
（2）当x≥1时，f（x）＞lnx恒成立，求a的取值．

Answer 1

分析 （1）当a=-1时，f（x）=-lnx+$\frac{1}{2}$x²的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=$\frac{（x-1）（x+1）}{x}$，从而确定导数的正负与单调性；
（2）由题意知x=1时f（1）=$\frac{1}{2}$＞0显然成立；而当x＞1时，lnx＞0，从而化为a＞1-$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$恒成立，令g（x）=1-$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$，从而解得．

解答 解：（1）当a=-1时，f（x）=-lnx+$\frac{1}{2}$x²的定义域为（0，+∞），
f′（x）=-$\frac{1}{x}$+x=$\frac{（x-1）（x+1）}{x}$，
故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）的单调减区间为（0，1），单调增区间为（1，+∞）．
（2）∵f（x）＞lnx恒成立，
∴alnx+$\frac{1}{2}$x²＞lnx恒成立，
当x=1时，f（1）=$\frac{1}{2}$＞0显然成立；
当x＞1时，lnx＞0，
故a＞1-$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$恒成立，
令g（x）=1-$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$，
故g′（x）=$\frac{x（1-2lnx）}{2（lnx）^{2}}$，
故g（x）在（1，$\sqrt{e}$）上是增函数，在（$\sqrt{e}$，+∞）上是减函数；
故g_max（x）=g（$\sqrt{e}$）=1-e，
故a＞1-e．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题与最值问题．