Question

14．实数a，b满足 a＞0，b＞1，a+b=$\frac{3}{2}$，则$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b-1}$的最小植为（　　）

• A． 1+2$\sqrt{2}$
• B． 2+4$\sqrt{2}$
• C． 3+2$\sqrt{2}$
• D． 6+4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据条件，可以考虑用基本不等式求最小值：根据条件得到，$a+（b-1）=\frac{1}{2}$，从而$\frac{2}{a}+\frac{1}{b-1}=\frac{a+（b-1）}{\frac{a}{4}}+\frac{a+（b-1）}{\frac{b-1}{2}}$，到这便可以看出能够用上基本不等式了，从而便可得出$\frac{2}{a}+\frac{1}{b-1}$的最小值．

解答 解：$a+b=a+（b-1）+1=\frac{3}{2}$；
∴$a+（b-1）=\frac{1}{2}$，a＞0，b＞1，b-1＞0；
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{b-1}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{a}{4}}+\frac{\frac{1}{2}}{\frac{b-1}{2}}=\frac{a+（b-1）}{\frac{a}{4}}+\frac{a+（b-1）}{\frac{b-1}{2}}$=$4+\frac{4（b-1）}{a}+\frac{2a}{b-1}+2≥4+2\sqrt{8}+2$=$6+4\sqrt{2}$；
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{b-1}$的最小值为6$+4\sqrt{2}$．
故选D．

点评 考查函数最小值的概念，基本不等式用于求最值的方法，注意应用基本不等式所具备的条件．