Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）若a＞0，记F（x）=g（x）-f（x），且F（x）在（0，+∞）上有最大值，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=0时，函数f（x）=|x|是一个偶函数；
当a≠0时，取特值：f（a）=0，f（-a）=2|a|≠0，
故函数f（x）=|x-a|是非奇非偶函数．
（2）对于a＞0，
若a＞1，F（x）在区间（0，a），[a，+∞）上递增，无最大值；
若a=1，有最大值1
若0＜a＜1，F（x）在区间（0，a）上递增，在[a，+∞）上递减，F（x）有最大值F（a）=a²；
综上所述得，当0＜a≤1时，F（x）有最大值．
分析：（1）分两种情况讨论：当a=0时，函数f（x）=|x|是一个偶函数；当a≠0时，通过取特值：x=a时f（-a）与f（a）的关系得出函数f（x）=|x-a|是非奇非偶函数．
（2）利用零点分段法，我们易将函数的解析式化为分段函数的形式，然后根据分段函数单调性的判判断方法，分类讨论，即可得到结论，讨论a的范围，确定最值落在哪个区间，从而求出a的值．
点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数奇偶性的判断及分段函数的图象单调性，关键是要利用零点分段法，我们易将函数的解析式化为分段函数的形式后研究其性质．