Question

5．已知△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，其面积S=4$\sqrt{3}$，∠B=60°，且a²+c²=2b²；等差数列{a_n}中，且a₁=a，公差d=b．数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n-2b_n+3=0，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}、{b_n的通项公式；
（2）设c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n为奇数}\\{{b}_{n}，n为偶数}\end{array}\right.$，求数列{c_n}的前2n+1项和P_2n+1．

Answer 1

分析 （1）运用三角形的面积公式和余弦定理，解得a=b=c=4，由等差数列的通项公式可得a_n=4n；再由数列的通项与求和的关系，可得数列{b_n}为等比数列，求得b_n；
（2）求得c_n=$\left\{\begin{array}{l}{4n，n为奇数}\\{3•{2}^{n-1}，n为偶数}\end{array}\right.$，运用数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$ac•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，∴ac=16，
又 a²+c²=2b²，b²=a²+c²-2accosB，
∴b²=ac=16，∴b=4，
从而（a+c）²=a²+c²+2ac=64⇒a+c=8∴a=c=4
故可得：$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=4}\\{d=4}\end{array}}\right.$，∴a_n=4+4（n-1）=4n；
∵T_n-2b_n+3=0，∴当n=1时，b₁=3，
当n≥2时，T_n-1-2b_n-1+3=0，
两式相减，得b_n=2b_n-1，（n≥2）
∴数列{b_n}为等比数列，
∴${b_n}=3•{2^{n-1}}$．
（2）c_n=$\left\{\begin{array}{l}{4n，n为奇数}\\{3•{2}^{n-1}，n为偶数}\end{array}\right.$，
前2n+1项和P_2n+1=[4+12+…+4（2n+1）]+（6+24+…+3•2^2n-1）
=$\frac{[4+4（2n+1）]（n+1）}{2}+\frac{6（1-{4}^{n}）}{1-4}$
=2²ⁿ⁺¹+4n²+8n+2．

点评 本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．