Question

13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，PA⊥平面ABC，且PA=BC=1，则二面角A-PB-C的平面角是60°．

Answer 1

分析 建立空间坐标系，求出平面的法向量，即可求二面角A-PB-C的余弦值，得到角的大小．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
以A为坐标原点，AC，CP为x，z轴，平行于BC的直线为y轴，建立空间坐标系如图，
∵∠BAC=60°，PA=AC=1．
∴BC=1，
则A（0，0，0），B（1，1，0），C（1，0，0），P（0，0，1），取AB的中点为O（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$）．
OC⊥平面PAB，$\overrightarrow{OC}$=（$\frac{1}{2}$$，-\frac{1}{2}$，0），是平面PAB的一个法向量．
设平面PBC的法向量为：$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{CP}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{CB}$=（0，1，0），
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}z-x=0\\ y=0\end{array}\right.$，
令z=1，则x=1，y=0，即$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{OC}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OC}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{OC}\right|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{1}{2}$，＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{OC}$＞=60°
故答案为：60°．

点评 本题主要考查面面垂直的判定，以及二面角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．